K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Verschiedene rationale Darstellungen einer aIgebraischen Funktion/Beziehung im Koordinatenring/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten das Element  ${}F=H_{1}H_{2}{\left(G_{1}H_{2}-G_{2}H_{1}\right)}$  auf ${}V$ und behaupten, dass dies die Nullfunktion induziert. Es sei  ${}Q\in V$.  Bei  ${}H_{1}(Q)=0$  oder  ${}H_{2}(Q)=0$  ist  ${}F(Q)=0$,  sei also  ${}H_{1}(Q),H_{2}(Q)\neq 0$  vorausgesetzt. Dann ist  ${}Q\in D(H_{1})\cap D(H_{2})$,  und dort gelten die beiden rationalen Darstellungen für ${}f$, nämlich

${}{\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}=f(Q)={\frac {G_{2}(Q)}{H_{2}(Q)}}\,.$

Daraus folgt  ${}G_{1}(Q)H_{2}(Q)=G_{2}(Q)H_{1}(Q)$  und somit ist die Differenz ${}0$. Insgesamt ist also ${}F$ die Nullfunktion auf ${}V$ und daher gibt es nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ein ${}r$ mit  ${}F^{r}=0$  in ${}R$.

Zur bewiesenen Aussage