K-Spektrum/Integritätsbereich/Algebraische Funktion ist Element im Quotientenkörper/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $P\in U$  ein Punkt und die algebraische Funktion $f$ sei in einer Umgebung von $P$ durch  $f=G/H$  gegeben,  $G,H\in R$,   $H\ne 0$.  Dann kann man $G/H$ sofort als Element im Quotientenkörper auffassen. Es sei  $Q\in U$  ein anderer Punkt mit einer Darstellung  $f=G^{\prime }/H^{\prime }$.  Nach Fakt und da ein Integritätsbereich vorliegt ist  $G{H}^{\prime }=G^{\prime }H$  in $R$. Daher ist der Quotient im Quotientenkörper wohldefiniert. Die Abbildung ist dann offensichtlich ein Ringhomomorphismus und das Diagramm

$\begin{array}{ccc}R& & \\ \downarrow & \searrow & \\ \mathrm{\Gamma }(U,𝒪)& ⟶& Q(R)\end{array}$

kommutiert. Die Abbildung ist auch durch die Eigenschaften eindeutig festgelegt, da die algebraischen Funktionen, die Elementen aus $R$ entsprechen, auf die zugehörigen Elemente im Quotientenkörper gehen müssen. Damit sind bereits die Bilder der Brüche festgelegt.

Die Injektivität ergibt sich daraus, dass aus  $G/H=0$  im Quotientenkörper sofort  $G=0$  folgt, und damit ist auch die zugehörige Funktion auf $D(H)$ die Nullfunktion. Wenn es eine weitere Darstellung  $G/H=G^{\prime }/H^{\prime }$  gibt, so folgt wiederum  $G^{\prime }=0$  und erneut ist das die Nullfunktion.

Zur bewiesenen Aussage