K-Spektrum/Integritätsbereich/Algebraische Funktion ist Element im Quotientenkörper/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei ein Punkt und die algebraische Funktion sei in einer Umgebung von durch gegeben, , . Dann kann man sofort als Element im Quotientenkörper auffassen. Sei ein anderer Punkt mit einer Darstellung . Nach Fakt und da ein Integritätsbereich vorliegt ist in . Daher ist der Quotient im Quotientenkörper wohldefiniert. Die Abbildung ist dann offensichtlich ein Ringhomomorphismus und das Diagramm

kommutiert. Die Abbildung ist auch durch die Eigenschaften eindeutig festgelegt, da die algebraischen Funktionen, die Elementen aus entsprechen, auf die zugehörigen Elemente im Quotientenkörper gehen müssen. Damit sind bereits die Bilder der Brüche festgelegt.

Die Injektivität ergibt sich daraus, dass aus im Quotientenkörper sofort folgt, und damit ist auch die zugehörige Funktion auf die Nullfunktion. Wenn es eine weitere Darstellung gibt, so folgt wiederum und erneut ist das die Nullfunktion.

Zur bewiesenen Aussage