K-Spektrum/Ringhomomorphismus induziert Morphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wissen bereits nach Fakt, dass

$Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$

eine stetige Abbildung ist. Sei ${}U\subseteq X$ eine offene Teilmenge und ${}V=(\varphi ^{*})^{-1}(U)$ das Urbild. Sei ${}f:U\rightarrow K$ eine algebraische Funktion mit der Hintereinanderschaltung ${}f\circ \varphi ^{*}:V\rightarrow K$. Wir haben zu zeigen, dass diese Abbildung ebenfalls algebraisch ist. Sei dazu ${}P\in V$ ein Punkt mit dem Bildpunkt ${}Q=\varphi ^{*}(P)$. Sei ${}Q\in D(H)\subseteq U$ und ${}f=G/H$ auf ${}D(H)$ mit ${}G,H\in R$. Es ist

$P\in (\varphi ^{*})^{-1}(D(H))=D(\varphi (H)).$

Wir behaupten, dass auf ${}D(\varphi (H))$ die Gleichheit ${}f\circ \varphi ^{*}={\frac {\varphi (G)}{\varphi (H)}}$ gilt. Dies folgt für ${}{\tilde {P}}\in D(\varphi (H))$ aus

${}f\circ \varphi ^{*}({\tilde {P}})=f(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))={\frac {G(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))}{H(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))}}={\frac {(\varphi (G))({\tilde {P}})}{(\varphi (H))({\tilde {P}})}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage