K-Spektrum/Ringhomomorphismus induziert Morphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wissen bereits nach Fakt, dass

$Y=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$

eine stetige Abbildung ist. Es sei  ${}U\subseteq X$  eine offene Teilmenge und  ${}V=(\varphi ^{*})^{-1}(U)$  das Urbild. Es sei ${}f\colon U\rightarrow K$ eine algebraische Funktion mit der Hintereinanderschaltung ${}f\circ \varphi ^{*}\colon V\rightarrow K$. Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung ebenfalls algebraisch ist. Es sei dazu  ${}P\in V$  ein Punkt mit dem Bildpunkt  ${}Q=\varphi ^{*}(P)$.  Es sei  ${}Q\in D(H)\subseteq U$  und  ${}f=G/H$  auf ${}D(H)$ mit  ${}G,H\in R$.  Es ist

${}P\in (\varphi ^{*})^{-1}(D(H))=D(\varphi (H))\,$

gemäß Fakt. Wir behaupten, dass auf ${}D(\varphi (H))$ die Gleichheit  ${}f\circ \varphi ^{*}={\frac {\varphi (G)}{\varphi (H)}}$  gilt. Dies folgt für  ${}{\tilde {P}}\in D(\varphi (H))$  aus

${}f\circ \varphi ^{*}({\tilde {P}})=f(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))={\frac {G(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))}{H(\varphi ^{*}({\tilde {P}}))}}={\frac {(\varphi (G))({\tilde {P}})}{(\varphi (H))({\tilde {P}})}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage