Kategorien/Kontravarianter Funktor/Definition

Kontravarianter Funktor

Es seien ${}{\mathcal {C}}$ und ${}{\mathcal {D}}$ Kategorien. Ein kontravarianter Funktor ${}F$ von ${}{\mathcal {C}}$ nach ${}{\mathcal {D}}$ ist eine Zuordnung, die jedem Objekt ${}M\in {\mathcal {C}}$ ein Objekt ${}F(M)\in {\mathcal {D}}$ und jedem Morphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ einen Morphismus ${}F(\varphi )\colon F(N)\rightarrow F(M)$ zuordnet, wobei die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Zu Objekten ${}L,M,N\in {\mathcal {C}}$ und Morphismen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ und ${}\psi \colon M\rightarrow N$ ist

   ${}F(\psi \circ \varphi )=F(\varphi )\circ F(\psi )\,.$

2. Es ist

   ${}F(\operatorname {Id} _{M})=\operatorname {Id} _{F(M)}\,$

   für jedes Objekt ${}M$ aus ${}{\mathcal {C}}$.