Kettenlinie/Differentialgleichung/Lösung/Aufgabe/Lösung

Wir setzen

$z=y^{\prime },$

diese Funktion erfüllt dann die Differentialgleichung

$z^{\prime }=c\sqrt{1+z^2}$

erster Ordnung. Das ist eine „zeitunabhängige“ Differentialgleichung. Eine Stammfunktion von $\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}$ findet man (siehe Fakt) mit der Substitution

$z=\sinh s,$

es ist

${\int }_a^b\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}dz={\int }_{\mathrm{arsinh}a}^{\mathrm{arsinh}b}\frac{1}{\cosh s}\cosh sds={\int }_{\mathrm{arsinh}a}^{\mathrm{arsinh}b}1ds,$

eine Stammfunktion ist also $\mathrm{arsinh}z$. Die Lösungen der Differentialgleichung für $z$ sind also

$z(x)=c\sinh (x+\alpha ).$

Daher sind die Lösungen für die ursprüngliche Gleichung gleich

$y(x)=\beta +c\cosh (x+\alpha ).$

Da die Anfangsbedingung symmetrisch zur $y$-Achse ist, muss

$\alpha =0$

sein. Die Bedingung

$y(1)=\beta +c\cosh (1)=0$

liefert

$\beta =-c\cosh (1)=-c\frac{e^1+e^{-1}}{2}.$

Also ist

$y(x)=-c\frac{e^1+e^{-1}}{2}+c\cosh x$

die Lösung.

Zur gelösten Aufgabe