Kettenlinie/Differentialgleichung/Lösung/Aufgabe/Lösung

Wir setzen

${}z=y'\,,$

diese Funktion erfüllt dann die Differentialgleichung

${}z'=c{\sqrt {1+z^{2}}}\,$

erster Ordnung. Das ist eine „zeitunabhängige“ Differentialgleichung. Eine Stammfunktion von ${}{\frac {1}{\sqrt {1+z^{2}}}}$ findet man (siehe Fakt) mit der Substitution

${}z=\sinh s\,,$

es ist

${}\int _{a}^{b}{\frac {1}{\sqrt {z^{2}+1}}}dz=\int _{\,\operatorname {arsinh} \,a\,}^{\,\operatorname {arsinh} \,b\,}{\frac {1}{\cosh s}}\cosh sds=\int _{\,\operatorname {arsinh} \,a\,}^{\,\operatorname {arsinh} \,b\,}1ds\,,$

eine Stammfunktion ist also ${}\,\operatorname {arsinh} \,z\,$. Die Lösungen der Differentialgleichung für ${}z$ sind also

${}z(x)=c\sinh(x+\alpha )\,.$

Daher sind die Lösungen für die ursprüngliche Gleichung gleich

${}y(x)=\beta +c\cosh(x+\alpha )\,.$

Da die Anfangsbedingung symmetrisch zur ${}y$-Achse ist, muss

${}\alpha =0\,$

sein. Die Bedingung

${}y(1)=\beta +c\cosh(1)=0\,$

liefert

${}\beta =-c\cosh(1)=-c{\frac {e^{1}+e^{-1}}{2}}\,.$

Also ist

${}y(x)=-c{\frac {e^{1}+e^{-1}}{2}}+c\cosh x\,$

die Lösung.

Zur gelösten Aufgabe