Klassische Gruppen/Kurzübersicht/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}E_{n}$ die Einheitsmatrix der Länge ${}n$. Eine Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ mit

${}{M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$

heißt orthogonale Matrix. Die Menge aller orthogonalen Matrizen heißt orthogonale Gruppe, sie wird mit

${}\operatorname {O} _{n}\!{\left(K\right)}={\left\{M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\mid {M^{\text{tr}}}M=E_{n}\right\}}\,$

bezeichnet.

Man beachte, dass dies bei ${}K={\mathbb {C} }$ nicht die unitäre Gruppe ist. Die Gruppe, die aus allen speziellen orthogonalen Matrizen besteht, also die Determinante ${}1$ besitzen, heißt spezielle orthogonale Gruppe.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}I_{m}={\begin{pmatrix}0&-E_{m}\\E_{m}&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}$, wobei ${}E_{m}$ die Einheitsmatrix der Länge ${}m$ ist. Eine Matrix ${}S\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}$ mit

${}{S^{\text{tr}}}I_{m}S=I_{m}\,$

heißt symplektische Matrix. Die Menge aller symplektischen Matrizen heißt symplektische Gruppe, sie wird mit

${}\operatorname {Sp} _{2m}\!\,{\left(K\right)}={\left\{S\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}\mid {S^{\text{tr}}}I_{m}S=I_{m}\right\}}\,$

bezeichnet.

Da die definierenden Bedingungen dieser Gruppen ein System aus algebraischen Gleichungen bilden, sind diese Gruppen affin-algebraisch, es handelt sich also um lineare Gruppen.