Kommutative Algebra/Modulhomomorphismus/Faktorisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, dem entsprechenden Satz für Gruppen, weil jeder Modulhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus ist und weil die resultierenden Gruppenhomomorphismen ${}q$, ${}\theta$ und ${}\iota$ Modulhomomorphismen sind. Bei ${}q$ ist das so, weil es die kanonische Projektion ist; bei ${}\iota$ ist das so, weil es die Inklusion eines Untermoduls darstellt. Bei ${}\theta$ muss die selbe Eigenschaft dann zwingend gelten, da ansonsten niemals ${}\iota \circ \theta \circ q=\varphi$ gelten könnte.

Zur bewiesenen Aussage