Kommutative Algebra/Modulhomomorphismus/Festlegung auf Erzeugendensystem/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}u\in M$ mit der Darstellung

$u=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}x_{i}.$

Für einen Homomorphismus ${}\varphi$ mit ${}\varphi (x_{i})=y_{i}$ für alle ${}i\in I$ gilt

$\varphi (u)=\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}x_{i}\right)}=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}\varphi (x_{i})=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}y_{i}.$

Dies legt ${}\varphi$ auf ganz ${}M$ fest.

Zur bewiesenen Aussage