Kommutative Algebra/Modulhomomorphismus/Festlegung auf Erzeugendensystem/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$, ${}N$ zwei ${}R$-Moduln. Es sei ${}x_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}M$ und seien ${}y_{i}$, ${}i\in I$, Elemente aus ${}N$.

Dann gibt es höchstens einen ${}R$-Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$, für den

${}\varphi (x_{i})=y_{i}\,$

für alle  ${}i\in I$  gilt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen