Kommutative Algebra/Modultheorie/Annullator/Definition

Annullator

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Zu einem festen  ${}x\in M$  heißt

${}\operatorname {Ann} _{R}{\left(x\right)}={\left\{r\in R\mid rx=0\right\}}\,$

der Annullator von ${}x$. Die Menge aller  ${}r\in R$,  die ${}M$ annullieren, für die also  ${}rx=0$  für alle  ${}x\in M$  gilt, heißt Annullator ${}\operatorname {Ann} _{R}{\left(M\right)}$.

Ist  ${}\operatorname {Ann} _{R}{\left(M\right)}=0$,  gibt es also außer ${}0$ keine Ringelemente, die alle Modulelemente annullieren, so heißt ${}M$ treu.