Kommutative Algebra/Modultheorie/Annullator/Definition

Annullator

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Zu einem festen ${}x\in M$ heißt

${}\operatorname {Ann} _{R}{\left(x\right)}={\left\{r\in R\mid rx=0\right\}}\,$

der Annullator von ${}x$. Die Menge aller ${}r\in R$, die ${}M$ annullieren, für die also ${}rx=0$ für alle ${}x\in M$ gilt, heißt Annullator ${}\operatorname {Ann} _{R}{\left(M\right)}$.

Ist ${}\operatorname {Ann} _{R}{\left(M\right)}=0$, gibt es also außer ${}0$ keine Ringelemente, die alle Modulelemente annullieren, so heißt ${}M$ treu.