Kommutative Algebra/Modultheorie/Annullator/Definition

Annullator

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Zu einem festen  $x\in M$  heißt

${\mathrm{Ann}}_R\left(x\right)=\{r\in R\mid rx=0\}$

der Annullator von $x$. Die Menge aller  $r\in R$,  die $M$ annullieren, für die also  $rx=0$  für alle  $x\in M$  gilt, heißt Annullator ${\mathrm{Ann}}_R\left(M\right)$.

Ist  ${\mathrm{Ann}}_R\left(M\right)=0$,  gibt es also außer $0$ keine Ringelemente, die alle Modulelemente annullieren, so heißt $M$ treu.