Kommutative Algebra/Modultheorie/Eigenschaften der Determinante/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Es sei zunächst eine andere Abbildung mit den gewünschten Eigenschaften:

Die Zeilen der Einheitsmatrix sind die im Beispiel definierten Basislemente des .

Zu ist , dementsprechend ist zu

Dann gilt nach Fakt


Nun wird gezeigt, dass multilinear und alternierend ist:

Um die Multilinearität von zu zeigen, genügt es für die Multilinearität von zu zeigen (Die Menge der multilinearen Abbildungen bilden einen Modul).

Die Multilinearität folgt daraus, dass die Multiplikation multilinear und das Auswählen einer Komponente R-linear sind.

Die Alterniertheit von ergibt sich aus direkt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage