Kommutative Algebra/Modultheorie/Eigenschaften der Determinante/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}f\colon R^{n}\times \ ...\ \times R^{n}\to R$ eine andere Abbildung mit den gewünschten Eigenschaften:

Die Zeilen der Einheitsmatrix ${}E_{n}$ sind die im Beispiel definierten Basislemente des ${}R^{n}$.

Zu ${}a\in R^{n}$ ist ${}a=\sum _{j=1}^{n}(a)_{j}\cdot e_{j}$, dementsprechend ist zu ${}(a_{i})_{i\in \{1,...,n\}}\ a_{i}=\sum _{j=1}^{n}(a_{i})_{j}e_{j}$

Dann gilt nach Fakt

${}f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,...,n\}^{n}}(a_{1})_{j_{1}}\cdot ...\cdot (a_{n})_{j_{n}}\cdot f(e_{j_{1}},...,e_{j_{n}})\,$

${}{\begin{aligned}f(a_{1},\ldots ,a_{n})&=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}}^{n}(a_{1})_{j_{1}}\cdot ...\cdot (a_{n})_{j_{n}}\cdot f(e_{j_{1}},...,e_{j_{n}})\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}(a_{1})_{\sigma (1)}\cdot ...\cdot (a_{n})_{\sigma (n)}\cdot f(e_{j_{1}},...,e_{j_{n}})\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}(a_{1})_{\sigma (1)}\cdot ...\cdot (a_{n})_{\sigma (n)}\cdot sgn(\sigma )f(e_{1},...,e_{n})\\&=det(A).\end{aligned}}$

Nun wird gezeigt, dass ${}det$ multilinear und alternierend ist:

Um die Multilinearität von ${}det=\sum _{\sigma \in S_{n}}\prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}$ zu zeigen, genügt es für ${}\sigma \in S_{n}$ die Multilinearität von ${}\prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}$ zu zeigen (Die Menge der multilinearen Abbildungen bilden einen Modul).

Die Multilinearität folgt daraus, dass die Multiplikation multilinear und das Auswählen einer Komponente R-linear sind.

Die Alterniertheit von ${}det$ ergibt sich aus direkt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage