Kommutative Algebra/Multilineare und alternierende Abbildung über Moduln/Definition

Multilinear

Es seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über dem kommutativen Ring, ${}n\in \mathbb {N}$ und

$\triangle \colon M^{n}=\underbrace {M\times \cdots \times M} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow N$

eine Abbildung.

Man nennt ${}\triangle$ multilinear, wenn für jedes ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes ${}(n-1)$-Tupel

$(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$

die induzierte Abbildung

$M\longrightarrow N,\,u\longmapsto \triangle (v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}),$

ein ${}R$-Modulhomomorphismus ist.

Der Modul der multilinearen Abbildungen wird mit ${}\operatorname {Mult} _{R}(M^{n};N)$ bezeichnet.

Eine multilineare Abbildung ${}\triangle$ heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also ${}v_{i}=v_{j}$ für ein Paar ${}i\neq j$, so ist ${}\triangle (v)=0$.

Der Untermodul der alternierenden Abbildungen wird mit ${}\operatorname {Alt} _{R}(M^{n};N)$ bezeichnet.