Kommutative Algebra/Modultheorie/Wohldefiniertheit des Ranges/Fakt/Beweis

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Beweis

Da ein kommutativer Ring ist, gibt es nach Fakt ein maximales Ideal in . Dementsprechend ist der Restklassenring nach Fakt ein Körper. Der Untermodul wird dann zu einem -Vektorraum.

hat als -Modul die Basis , also . Dementsprechend ist .

Hieraus folgt die Isomorphie

Somit hat als -Vektorraum eine Basis der Mächtigkeit von .

Da wir für Vektorräume wissen, dass je zwei Basen gleiche Kardinalität haben, folgt die Aussage.

Zur bewiesenen Aussage