Kommutative Algebra/Nicht freier, aber endlich erzeugter Modul/Bemerkung

Es sei  ${}R=\mathbb {Z}$  und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Dann ist  ${}M=\mathbb {Z} /(n)$  ein ${}\mathbb {Z}$-Modul und wird von der  ${}1\in M$ 

erzeugt. Allerdings gilt  ${}n\cdot 1=0$,  die Familie ${}(1)$ ist also bei  ${}n\neq 0,1$  nicht linear unabhängig und keine Basis. Da auch für jeden anderen Erzeuger  ${}\xi \in M$  gilt, dass  ${}n\cdot \xi =0$  ist, ist ${}M$ als ${}\mathbb {Z}$-Modul nicht frei. Wenn man ${}M$ als kommutativen Ring auffasst, so ist ${}M$ als Modul über sich selbst frei. Bei  ${}n=p$  mit einer Primzahl ${}p$ liegt ein ${}\mathbb {Z} /(p)$- Vektorraum vor.