Kommutative Algebra/Nicht freier, aber endlich erzeugter Modul/Bemerkung

Sei ${}R=\mathbb {Z}$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}M=\mathbb {Z} /(n)$ ein ${}\mathbb {Z}$-Modul und wird von der ${}1\in M$ erzeugt. Allerdings gilt ${}n\cdot 1=0$, die Familie ${}(1)$ ist also bei ${}n\neq 0,1$ nicht linear unabhängig und keine Basis. Da auch für jeden anderen Erzeuger ${}\xi \in M$ gilt, dass ${}n\cdot \xi =0$ ist, ist ${}M$ als ${}\mathbb {Z}$-Modul nicht frei. Wenn man ${}M$ als kommutativen Ring auffasst, so ist ${}M$ als Modul über sich selbst frei. Bei ${}n=p$ mit einer Primzahl ${}p$ liegt ein ${}\mathbb {Z} /(p)$- Vektorraum vor.