Kommutative Algebra/Ring/Matrizenring/Definition

Matrizenring über kommutativem Ring

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I$ eine Indexmenge. Dann ist der Matrizenring

${}\operatorname {Mat} _{I}(R):=R^{I\times I}\,$

die Menge der ${}I\times I$- Matrizen ausgestattet mit folgender komponentenweiser Addition und Matrizenmultiplikation:

$+\colon \operatorname {Mat} _{I\times I}\times \operatorname {Mat} _{I\times I}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{I\times I},\,((a_{ij})_{ij}),(b_{ij})_{ij})\longmapsto (a_{ij}+b_{ij})_{ij}$

$\cdot \colon \operatorname {Mat} _{I\times I}\times \operatorname {Mat} _{I\times I}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{I\times I},\,((a_{ij})_{ij}),(b_{ij})_{ij})\longmapsto {\left(\sum _{k\in I}a_{ik}\cdot b_{kj}\right)}_{ij}.$

Im Fall ${}I=\{1,\ldots ,n\}$ wird auch ${}\operatorname {Mat} _{n}(R)$ geschrieben.