Kommutative Gruppe/Erste Kohomologie/Überlagerung/Aufgabe/Lösung

Skizze. Da wir eine kommutative Gruppe haben schreiben wir die Verknüpfung und auch die Operation additiv. Wir ordnen zuerst einer ${}G$-Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$ einen Kozykel zu. Nach Definition gibt es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}$ und ${}G$-Isomomorphismen

$\varphi _{i}\colon G\times U_{i}\longrightarrow p^{-1}(U_{i}),$

die wir fixieren. Diese Isomorphismen schränken zu einem Isomorphismus auf jede offene Teilmenge ein. Zu Indizes ${}i,j$ ist

$\psi _{ij}=\varphi _{i}^{-1}\circ \varphi _{j}\colon G\times U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow G\times U_{i}\cap U_{j}$

verträglich mit der natürlichen ${}G$-Operation. D.h. es ist

${}\psi _{ij}(g,x)=\psi _{ij}(g+0,x)=g+\psi (0,x)\,$

und die Abbildung ist durch ${}\psi (0,x)$ festgelegt. Wegen der Fasertreue und der Stetigkeit ist

${}\psi (0,x)=(g(x),x)\,$

mit einer stetigen Abbildung

$g\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow G.$

Diese nennen wir ${}g_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},G\right)}$. Zu einem weiteren Index ${}k$ gilt für die Isomorphismen (über ${}U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$)

${}{\begin{aligned}\psi _{ik}&={\left(\varphi _{i}^{-1}\circ \varphi _{k}\right)}\\&={\left(\varphi _{i}^{-1}\circ \varphi _{j}\right)}\circ {\left(\varphi _{j}^{-1}\circ \varphi _{k}\right)}\\&=\psi _{ij}\circ \psi _{jk}\end{aligned}}$

und darauf folgt, dass die ${}g_{ij}$ die Kozykelbedingung erfüllen.

Zur gelösten Aufgabe