Kommutative Gruppe/Höhenfunktion/Endlich erzeugt/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}G$ endlich erzeugt. Dann ist nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

{}G=\mathbb {Z} ^{r}\times T\,

mit einer endlichen Torsionsgruppe ${}T$ . Wir betrachten

\mathbb {Z} ^{r}\times T{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{r}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{r}.

Dann ergibt jede Norm auf ${}\mathbb {R} ^{r}$ eine Seminorm auf ${}G$ , die auch die Endlichkeitsbedingung einer Höhenfunktion erfüllt, da in einem Ball nur endlich viele Gitterpunkte liegen (man denke etwa an die Maximumsnorm). Ferner ist

{}G/mG=\mathbb {Z} ^{r}\times T/m{\left(\mathbb {Z} ^{r}\times T\right)}={\left(\mathbb {Z} /(m)\right)}^{r}\times T/mT\,

endlich.

Zum Beweis der Umkehrung sei eine Höhenfunktion ${}h$ gegeben und seien ${}x_{1},\ldots ,x_{k}\in G$ Repräsentanten für die nach Voraussetzung endliche Gruppe ${}G/mG$ . Wir setzen

{}b={\max {\left(h(x_{i}),i=1,\ldots ,k\right)}}\,.

Es sei ${}F$ die von den endlich vielen Elementen ${}{\left\{x\in G\mid h(x)\leq b\right\}}$ erzeugte Untergruppe von ${}G$ . Wir behaupten ${}F=G$ . Nehmen wir an, dass es ein ${}y\in G\setminus F$ gibt, dann ist insbesondere ${}h(y)>b$ . Da die Menge ${}{\left\{x\in G\mid h(x)\leq h(y)\right\}}$ endlich ist, können wir annehmen, dass ${}y$ unter allen Elementen außerhalb von ${}F$ die minimale Höhe besitzt. Wegen