Kommutative Gruppen/Homomorphiesatz/Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}F$ kommutative Gruppen und sei  ${}H\subseteq G$  eine Untergruppe mit der zugehörigen Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf ${}G$. Es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow F$ ein Gruppenhomomorphismus mit  ${}H\subseteq \operatorname {kern} \varphi$.  Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}\colon G/\sim \rightarrow F$ mit  ${}{\tilde {\varphi }}\circ p=\varphi$  gibt.

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