Kommutative Gruppen/Realisiere als Galoisgruppen/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden die Kreisteilungskörper  ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$,  deren Galoisgruppe gleich ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist.

1. Der Kreisteilungskörper  ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{5}$  besitzt die Galoisgruppe  ${}{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }\cong \mathbb {Z} /(4)$. 
2. Der Kreisteilungskörper  ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{8}$  besitzt die Galoisgruppe  ${}{\left(\mathbb {Z} /(8)\right)}^{\times }=\{1,3,5,7\}\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$. 
3. Der Kreisteilungskörper  ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{20}$  besitzt die Galoisgruppe  ${}{\left(\mathbb {Z} /(20)\right)}^{\times }={\left(\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }={\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{\times }\times {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(4)$. 
4. Der Kreisteilungskörper  ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{17}$  besitzt die Galoisgruppe  ${}{\left(\mathbb {Z} /(17)\right)}^{\times }\cong \mathbb {Z} /(16)$.  Es sei ${}H$ der Kern des surjektiven Gruppenhomomorphismus

   $\mathbb {Z} /(16)\longrightarrow \mathbb {Z} /(8).$

   Dann ist  ${}\mathbb {Q} \subseteq \operatorname {Fix} \,(H)$  nach Fakt eine Galoiserweiterung mit der Restklassengruppe ${}\mathbb {Z} /(8)$ als Galoisgruppe.

Zur gelösten Aufgabe