Kommutative Gruppen/Realisiere als Galoisgruppen/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden die Kreisteilungskörper ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$, deren Galoisgruppe gleich ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist.

1. Der Kreisteilungskörper ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{5}$ besitzt die Galoisgruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }\cong \mathbb {Z} /(4)$.
2. Der Kreisteilungskörper ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{8}$ besitzt die Galoisgruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(8)\right)}^{\times }=\{1,3,5,7\}\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.
3. Der Kreisteilungskörper ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{20}$ besitzt die Galoisgruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(20)\right)}^{\times }={\left(\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }={\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{\times }\times {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(4)$.
4. Der Kreisteilungskörper ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{17}$ besitzt die Galoisgruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(17)\right)}^{\times }\cong \mathbb {Z} /(16)$. Es sei ${}H$ der Kern des surjektiven Gruppenhomomorphismus

   $\mathbb {Z} /(16)\longrightarrow \mathbb {Z} /(8).$

   Dann ist ${}\mathbb {Q} \subseteq \operatorname {Fix} \,(H)$ nach Fakt eine Galoiserweiterung mit der Restklassengruppe ${}\mathbb {Z} /(8)$ als Galoisgruppe.

Zur gelösten Aufgabe