Kommutative Gruppen/Realisiere als Galoisgruppen/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden die Kreisteilungskörper  $\mathbb{Q}\subseteq K_n$,  deren Galoisgruppe gleich ${(\mathbb{Z}/(n))}^{\times }$ ist.

1. Der Kreisteilungskörper  $\mathbb{Q}\subseteq K_5$  besitzt die Galoisgruppe  ${(\mathbb{Z}/(5))}^{\times }\cong \mathbb{Z}/(4)$. 
2. Der Kreisteilungskörper  $\mathbb{Q}\subseteq K_8$  besitzt die Galoisgruppe  ${(\mathbb{Z}/(8))}^{\times }=\{1,3,5,7\}\cong \mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(2)$. 
3. Der Kreisteilungskörper  $\mathbb{Q}\subseteq K_{20}$  besitzt die Galoisgruppe  ${(\mathbb{Z}/(20))}^{\times }={(\mathbb{Z}/(4)\times \mathbb{Z}/(5))}^{\times }={(\mathbb{Z}/(4))}^{\times }\times {(\mathbb{Z}/(5))}^{\times }\cong \mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(4)$. 
4. Der Kreisteilungskörper  $\mathbb{Q}\subseteq K_{17}$  besitzt die Galoisgruppe  ${(\mathbb{Z}/(17))}^{\times }\cong \mathbb{Z}/(16)$.  Es sei $H$ der Kern des surjektiven Gruppenhomomorphismus

   $\mathbb{Z}/(16)⟶\mathbb{Z}/(8).$

   Dann ist  $\mathbb{Q}\subseteq \mathrm{Fix}(H)$  nach Fakt eine Galoiserweiterung mit der Restklassengruppe $\mathbb{Z}/(8)$ als Galoisgruppe.

Zur gelösten Aufgabe