Kommutative Hopf-Algebra/L-Punkte/Ist Gruppe/Fakt

Gruppenstruktur zu Hopf-Algebra

Es sei $K$ ein kommutativer Ring, $H$ eine kommutative Hopf-Algebra und  $G=\mathrm{Spek}\left(H\right)$  das zugehörige affine Gruppenschema. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die folgenden Diagramme von $K$-Morphismen kommutieren:

   $\begin{array}{cccc}G{\times }_{K}G{\times }_{K}G& \stackrel{{\Delta }^{\ast }\times {\mathrm{Id}}_G}{⟶}& G{\times }_{K}G& \\ {\mathrm{Id}}_G\times {\Delta }^{\ast }\downarrow & & \downarrow {\Delta }^{\ast }& \\ G{\times }_{K}G& \stackrel{{\Delta }^{\ast }}{⟶}& G& ,\end{array}$

   
   

   $\begin{array}{cccc}G& \stackrel{\mathrm{Id}\times ({ϵ}^{\ast }{\iota }^{\ast })}{⟶}& G{\times }_{K}G& \\ & {\mathrm{Id}}_G\searrow & \downarrow {\Delta }^{\ast }& \\ & & G& ,\end{array}$

   
   

   $\begin{array}{cccc}G& \stackrel{S^{\ast }\times {\mathrm{Id}}_G}{⟶}& G{\times }_{K}G& \\ {\iota }^{\ast }\downarrow & & \downarrow {\Delta }^{\ast }& \\ \mathrm{Spek}\left(K\right)& \stackrel{{ϵ}^{\ast }}{⟶}& G& .\end{array}$

2. Für jede kommutative $K$-Algebra $L$ ist $G(L)$ mit den induzierten Operationen eine Gruppe.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen