Kommutative Hopf-Algebra/L-Punkte/Ist Gruppe/Fakt

Gruppenstruktur zu Hopf-Algebra

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring, ${}H$ eine kommutative Hopf-Algebra und ${}G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ das zugehörige affine Gruppenschema. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die folgenden Diagramme von ${}K$-Morphismen kommutieren:

   ${\begin{matrix}G\times _{K}G\times _{K}G&{\stackrel {\Delta ^{*}\times \operatorname {Id} _{G}}{\longrightarrow }}&G\times _{K}G&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{G}\times \Delta ^{*}\downarrow &&\downarrow \Delta ^{*}\!\!\!\!\!&\\G\times _{K}G&{\stackrel {\Delta ^{*}}{\longrightarrow }}&G&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

   
   

   ${\begin{matrix}G&{\stackrel {\operatorname {Id} \times (\epsilon ^{*}\iota ^{*})}{\longrightarrow }}&G\times _{K}G&\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{G}\searrow &\downarrow \Delta ^{*}\!\!\!\!\!&\\&&\!\!\!\!\!G&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

   
   

   ${\begin{matrix}G&{\stackrel {S^{*}\times \operatorname {Id} _{G}}{\longrightarrow }}&G\times _{K}G&\\\!\!\!\!\!\iota ^{*}\downarrow &&\downarrow \Delta ^{*}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\\operatorname {Spek} {\left(K\right)}&{\stackrel {\epsilon ^{*}}{\longrightarrow }}&G&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

2. Für jede kommutative ${}K$-Algebra ${}L$ ist ${}G(L)$ mit den induzierten Operationen eine Gruppe.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen