Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt/Beweis

Beweis

Ein ${}R$-Modulhomomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}\colon R[M]\rightarrow B$ ist festgelegt durch die Bilder der Basiselemente ${}X^{m}$, ${}m\in M$. Das Diagramm kommutiert genau dann, wenn ${}{\tilde {\varphi }}{\left(X^{m}\right)}=\varphi (m)$ ist. Durch diese Bedingung ist die Abbildung also eindeutig festgelegt und ist bereits ein ${}R$-Modulhomomorphismus. Es ist zu zeigen, dass dieser Homomorphismus auch die Multiplikation respektiert. Es ist ${}{\tilde {\varphi }}(1)={\tilde {\varphi }}{\left(X^{0}\right)}=\varphi (0)=1$. Ferner ist

${}{\tilde {\varphi }}{\left(X^{m}X^{k}\right)}={\tilde {\varphi }}{\left(X^{m+k}\right)}={\varphi (m+k)}=\varphi (m)\cdot \varphi (k)={\tilde {\varphi }}{\left(X^{m}\right)}\cdot {\tilde {\varphi }}{\left(X^{k}\right)}\,.$

Auf der Ebene der Monome respektiert die Abbildung also die Multiplikation. Daraus folgen für Elemente ${}f=\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}$ und ${}g=\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}$ die Identitäten

${}{\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}{\left({\left(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\right)}{\left(\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}\right)}\right)}&={\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{\ell \in M}{\left(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k}\right)}X^{\ell }\right)}\\&=\sum _{\ell \in M}{\left(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k}\right)}\varphi (\ell )\\&=\sum _{m,k\in M}a_{m}b_{k}\varphi (m)\varphi (k)\\&={\left(\sum _{m\in M}a_{m}\varphi (m)\right)}{\left(\sum _{k\in M}b_{k}\varphi (k)\right)}\\&={\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\right)}{\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}\right)},\end{aligned}}$

sodass die Abbildung ein Ringhomomorphismus ist.

Zur bewiesenen Aussage