Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt/Beweis

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Beweis

Ein -Modulhomomorphismus ist festgelegt durch die Bilder der Basiselemente , . Das Diagramm kommutiert genau dann, wenn ist. Durch diese Bedingung ist die Abbildung also eindeutig festgelegt und ist bereits ein -Modulhomomorphismus. Es ist zu zeigen, dass dieser Homomorphismus auch die Multiplikation respektiert. Es ist . Ferner ist

Auf der Ebene der Monome respektiert die Abbildung also die Multiplikation. Daraus folgen für Elemente und die Identitäten

so dass die Abbildung ein Ringhomomorphismus ist.

Zur bewiesenen Aussage