Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt/Beweis

Beweis

Ein $R$-Modulhomomorphismus $\tilde{\phi }:R[M]\to B$ ist festgelegt durch die Bilder der Basiselemente $X^m$, $m\in M$. Das Diagramm kommutiert genau dann, wenn  $\tilde{\phi }\left(X^m\right)=\phi (m)$  ist. Durch diese Bedingung ist die Abbildung also eindeutig festgelegt und ist bereits ein $R$-Modulhomomorphismus. Es ist zu zeigen, dass dieser Homomorphismus auch die Multiplikation respektiert. Es ist  $\tilde{\phi }(1)=\tilde{\phi }\left(X^0\right)=\phi (0)=1$.  Ferner ist

$\tilde{\phi }\left(X^m{X}^k\right)=\tilde{\phi }\left(X^{m+k}\right)=\phi (m+k)=\phi (m)\cdot \phi (k)=\tilde{\phi }\left(X^m\right)\cdot \tilde{\phi }\left(X^k\right).$

Auf der Ebene der Monome respektiert die Abbildung also die Multiplikation. Daraus folgen für Elemente  $f=\sum _{m\in M}{a}_m{X}^m$  und  $g=\sum _{k\in M}{b}_k{X}^k$  die Identitäten

$\begin{array}{cc}\tilde{\phi }\left(\left(\sum _{m\in M}{a}_m{X}^m\right)\left(\sum _{k\in M}{b}_k{X}^k\right)\right)& =\tilde{\phi }\left(\sum _{\ell \in M}\left(\sum _{m+k=\ell }{a}_m{b}_k\right)X^{\ell }\right)\\ & =\sum _{\ell \in M}\left(\sum _{m+k=\ell }{a}_m{b}_k\right)\phi (\ell )\\ & =\sum _{m,k\in M}{a}_m{b}_k\phi (m)\phi (k)\\ & =(\sum _{m\in M}{a}_m\phi (m))(\sum _{k\in M}{b}_k\phi (k))\\ & =\tilde{\phi }\left(\sum _{m\in M}{a}_m{X}^m\right)\tilde{\phi }\left(\sum _{k\in M}{b}_k{X}^k\right),\end{array}$

sodass die Abbildung ein Ringhomomorphismus ist.

Zur bewiesenen Aussage