Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $M$ ein kommutatives Monoid. Es sei $B$ eine kommutative $R$-Algebra und

$\phi :M⟶B$

ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von $B$).

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten $R$-Algebrahomomorphismus

$\tilde{\phi }:R[M]⟶B$

derart, dass das Diagramm

$\begin{array}{cccc}M& \stackrel{}{⟶}& R[M]& \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & B& \end{array}$

kommutiert.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen