Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung

Eine Familie von Elementen $m_i\in M$, $i\in I$, in einem Monoid $M$ ergibt einen Monoidhomomorphismus ${\mathbb{N}}^{(I)}\to M$, indem das $i$-te Basiselement $e_i$ auf $m_i$ geschickt wird. Dies ist insbesondere für endliche Indexmengen  $I=\{1,\dots ,n\}$  relevant. Der Monoidhomomorphismus induziert dann nach Fakt einen $R$-Algebrahomomorphismus $R[{\mathbb{N}}^n]=R[X_1,\dots ,X_n]\to R[M]$ von der Polynomalgebra in den Monoidring. Diese Abbildung ist der Einsetzungshomomorphismus, der durch $X_i\mapsto X^{m_i}$ gegeben ist.