Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung/Monoid und Monoidring/Fakt

Es sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma (M)$ und mit Normalisierung ${}{\tilde {M}}$, ${}M\subseteq {\tilde {M}}\subseteq \Gamma (M)$. Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich.

Dann ist die Normalisierung des Monoidringes ${}R[M]$ der Monoidring ${}R[{\tilde {M}}]$.

Insbesondere ist der Monoidring zu einem normalen Monoid über einem normalen Ring selbst wieder normal.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen