Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung/Monoid und Monoidring/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist

R [M] \subseteq R [\tilde{M}] \subseteq R [Γ (M)] \subseteq Q (R) [Γ (M)] \subseteq Q (R [M]) .

Es sei $m \in \tilde{M}$ mit $m = n - k, n, k \in M$ , und mit $r m = m + m + \dots + m = M$ ( $r$ mal). Damit ist $T^{m} = T^{n} / T^{k}$ ein Element im Quotientenkörper und nach der zweiten Eigenschaft ist $(T^{m})^{r} \in R [M]$ . Dies bedeutet, dass eine (reine) Ganzheitsgleichung für $T^{m}$ vorliegt und damit $T^{m}$ zur Normalisierung von $R [M]$ gehört. Somit gilt $K [\tilde{M}] \subseteq K [M]^{norm}$ . Für die Umkehrung kann man $M$ durch $\tilde{M}$ ersetzen und sich somit auf den Fall beschränken, wo $M$ normal ist. Man beweist zuerst, dass für eine torsionsfreie kommutative Gruppe $G$ der Gruppenring $R [G]$ normal ist, was daraus folgt, dass der Polynomring über einem normalen Bereich wieder normal ist. Dann muss man zeigen, dass $R [M]$ in $R [Γ (M)]$ ganz-abgeschlossen ist. Ein Element $q \in R (Γ (M))$ und eine Ganzheitsgleichung dafür lebt im Monoidring zu einer endlich erzeugten Untergruppe $U \subseteq Γ (M)$ , sodass man $Γ (M) = ℤ^{n}$ annehmen darf.

Hier kommt nun etwas konvexe Geometrie ins Spiel, was wir nicht ausführen. Jedenfalls lässt sich ein normales Untermonoid $M \subseteq ℤ^{n}$ als der Durchschnitt (innerhalb von $ℚ^{n}$ oder $ℝ^{n}$ ) von $ℤ^{n}$ und einem polyedrischen Kegel darstellen. Ein solcher Kegel ist selbst wiederum der Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen $H_{i}$ (Lemma von Gordan). Dabei ist ein Halbraum $H$ durch eine lineare Abbildung $p : V = ℝ^{n} \to ℝ$ mit $H = p^{- 1} (ℝ_{+})$ gegeben. Daraus folgt, dass $M$ ein endlicher Durchschnitt $M = ⋂_{i \in I} M_{i}$ mit $M_{i} = p_{i}^{- 1} (ℕ)$ ist. Daraus ergibt sich, dass die $M_{i}$ eine Form $M_{i} ≅ ℕ \times ℤ^{n - 1}$ haben. Damit ist $R [M] = ⋂_{i \in I} R [M_{i}]$ nach Aufgabe normal, da die einzelnen $R [M_{i}] ≅ R [ℕ \times ℤ^{n - 1}]$ normal sind.

Zur bewiesenen Aussage