Kommutative Ringe/Idealtheorie/Aufsteigende Kette ist Ideal/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

${}{\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots \,$

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}$ ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

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