Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Ring/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Ganzheitsgleichungen , zeigen, dass jedes Element aus ganz über ist. Seien und ganz über . Nach der Charakterisierung der Ganzheit gibt es endliche -Unteralgebren mit und . Sei ein -Erzeugendensystem von und ein -Erzeugendensystem von . Wir können annehmen, dass ist. Betrachte den endlich erzeugten -Modul

der offensichtlich und (und ) enthält. Dieser -Modul ist auch wieder eine -Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt

und für die Produkte gilt und , so dass diese Linearkombination zu gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von , der enthält. Also liegt eine -Unteralgebra vor.

Zur bewiesenen Aussage