Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Ring/Fakt/Beweis

Beweis

Die Ganzheitsgleichungen $X-r,\,r\in R$, zeigen, dass jedes Element aus ${}R$ ganz über ${}R$ ist. Seien ${}x_{1}\in S$ und ${}x_{2}\in S$ ganz über ${}R$. Nach der Charakterisierung der Ganzheit gibt es endliche ${}R$-Unteralgebren ${}T_{1},T_{2}\subseteq S$ mit ${}x_{1}\in T_{1}$ und ${}x_{2}\in T_{2}$. Es sei ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ ein ${}R$-Erzeugendensystem von ${}T_{1}$ und ${}z_{1},\ldots ,z_{m}$ ein ${}R$-Erzeugendensystem von ${}T_{2}$. Wir können annehmen, dass ${}y_{1}=z_{1}=1$ ist. Betrachte den endlich erzeugten ${}R$-Modul

${}T=T_{1}\cdot T_{2}=\langle y_{i}z_{j},\,i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,m\rangle \,,$

der offensichtlich ${}x_{1}+x_{2}$ und ${}x_{1}x_{2}$ (und ${}1$) enthält. Dieser ${}R$-Modul ${}T$ ist auch wieder eine ${}R$-Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt

${}{\left(\sum r_{ij}y_{i}z_{j}\right)}{\left(\sum s_{kl}y_{k}z_{l}\right)}=\sum r_{ij}s_{kl}y_{i}y_{k}z_{j}z_{l}\,,$

und für die Produkte gilt ${}y_{i}y_{k}\in T_{1}$ und ${}z_{j}z_{l}\in T_{2}$, so dass diese Linearkombination zu ${}T$ gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von ${}S$, der ${}R$ enthält. Also liegt eine ${}R$-Unteralgebra vor.

Zur bewiesenen Aussage