Kommutative Ringtheorie/Ganzheitsring/Quotientenkörper/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $f\in L$.  Nach Voraussetzung ist $L$ endlich über $K$. Daher erfüllt $f$ eine Ganzheitsgleichung der Form

$f^n+q_{n-1}{f}^{n-1}+\cdots +q_{1}f+q_0=0$

mit  $q_i\in K$.  Sei  $r\in R$  ein gemeinsames Vielfaches der Nenner aller $q_i$, $i=1,\dots ,n-1$. Multiplikation mit $r^n$ ergibt dann

$(rf{)}^n+q_{n-1}r(rf{)}^{n-1}+\cdots +q_1{r}^{n-1}(rf)+q_0{r}^n=0.$

Dies ist eine Ganzheitsgleichung für $rf$, da die Koeffizienten $q_{n-i}{r}^i$ nach Wahl von $r$ alle zu $R$ gehören. Damit ist  $rf\in S$,  da $S$ der ganze Abschluss ist. Somit zeigt  $f=\frac{rf}{r}$,  dass $f$ als ein Bruch mit einem Zähler aus $S$ und einem Nenner aus  $R\subseteq S$  darstellbar ist, also im Quotientenkörper $Q(S)$ liegt.

Zur bewiesenen Aussage