Kommutative Ringtheorie/Ganzheitsring/Quotientenkörper/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei . Nach Voraussetzung ist endlich über . Daher erfüllt eine Ganzheitsgleichung der Form

mit . Sei ein gemeinsames Vielfaches der Nenner aller , . Multiplikation mit ergibt dann

Dies ist eine Ganzheitsgleichung für , da die Koeffizienten nach Wahl von alle zu gehören. Damit ist , da der ganze Abschluss ist. Somit zeigt , dass als ein Bruch mit einem Zähler aus und einem Nenner aus darstellbar ist, also im Quotientenkörper liegt.

Zur bewiesenen Aussage