Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt/Beweis

Beweis

Angenommen, jede Zerlegung $a = p_{1} \dots p_{k}$ enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette $a_{1} = a, a_{2}, a_{3}, \dots$ , wobei $a_{n + 1}$ ein nicht-trivialer Teiler von $a_{n}$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette

(a_{1}) \subset (a_{2}) \subset (a_{3}) \subset \dots .

Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach Aufgabe ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage