Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt/Beweis

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Beweis

Angenommen, jede Zerlegung enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette , wobei ein nicht-trivialer Teiler von ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette

Die Vereinigung dieser Ideale ist aber Aufgabe ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage