Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/ist faktoriell/Fakt mit Beweisklappe

Satz

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit ${}a\neq 0$ darstellen als Produkt von Primelementen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten ${}p$, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung ${}a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$, wobei ${}u$ eine Einheit ist und die ${}p_{i}$ Repräsentanten sind.

Beweis

Die erste Aussage folgt direkt aus Fakt und Fakt.

Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn

${}a=u\cdot p_{1}\cdots p_{k}=v\cdot q_{1}\cdots q_{m}\,$

zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann ${}k=m$ ist und es eine Permutation ${}\tau$ auf ${}\{1,\ldots ,k\}$ gibt derart, dass ${}p_{i}$ und ${}q_{\tau (i)}$ assoziiert sind für alle ${}i\in \{1,\ldots ,k\}$. Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über ${}k$. Es sei zuerst ${}k=0$ (das sei zugelassen). Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was ${}m=0$ bedeutet.

Es sei also ${}k>0$ und die Aussage sei für alle kleineren ${}k$ bewiesen. Die Gleichung ${}(*)$ bedeutet insbesondere, dass ${}p_{k}$ das Produkt rechts teilt. Da ${}p_{k}$ prim ist, muss ${}p_{k}$ nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass ${}q_{m}$ von ${}p_{k}$ geteilt wird. Da ${}q_{m}$ ebenfalls prim ist, sind ${}q_{m}$ und ${}p_{k}$ assoziiert. Also ist

${}q_{m}=wp_{k}\,$

mit einer Einheit ${}w$ und man kann die Gleichung ${}(*)$ nach ${}p_{k}$ kürzen und erhält

${}u\cdot p_{1}\cdots p_{k-1}=(vw)\cdot q_{1}\cdots q_{m-1}\,.$

Die Induktionsvoraussetzung liefert dann ${}k-1=m-1$ und dass jedes ${}p_{i}$ zu einem ${}q_{j}$ assoziiert ist.

$\Box$