Kommutative Ringtheorie/Ideal/Operationen/Textabschnitt

Der Durchschnitt von Idealen ist wieder ein Ideal (der Durchschnitt von Hauptidealen ist im Allgemeinen kein Hauptideal). Daneben gibt es noch zwei weitere Operationen für Ideale, die zu neuen Idealen führen.

Definition

Zu Idealen ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man das Ideal

${}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}={\left\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}},\,b\in {\mathfrak {b}}\right\}}\,$

die Summe der Ideale.

Die Summe ist wieder ein Ideal. Ein endlich erzeugtes Ideal ist die Summe von Hauptidealen, nämlich

${}(a_{1},\ldots ,a_{n})=(a_{1})+\cdots +(a_{n})\,.$

Definition

Zu zwei Idealen ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch

${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{k}b_{k}\}\,$

mit ${}a_{i}\in {\mathfrak {a}}$, ${}b_{i}\in {\mathfrak {b}}$ definiert. Das ist das Ideal, das von allen Produkten ${}ab$ (mit ${}a\in {\mathfrak {a}}$, ${}b\in {\mathfrak {b}}$) erzeugt wird.

Die Menge aller Produkte ${}ab,a\in {\mathfrak {a}},b\in {\mathfrak {b}}$ ist im Allgemeinen kein Ideal. Für Hauptideale ist ${}(a)\cdot (b)=(a\cdot b)$ (aber nicht ${}(a)+(b)=(a+b)$).

Wenn das Produkt eines Ideals mit sich selbst genommen wird, verwendet man die Potenzschreibweise, d.h.${}{\mathfrak {a}}^{n}$ bedeutet das ${}n$-fache Produkt des Ideals mit sich selbst. In ${}K[X,Y]$ ist beispielsweise

${}(X,Y)^{2}=(X^{2},XY,Y^{2})\,.$