Kommutative Ringtheorie/K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Idempotente Elemente und randlose Mengen/Fakt/Beweis
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Beweis
Zunächst ist offen und abgeschlossen. Dies folgt aus
und aus
D.h. die Abbildung ist wohldefiniert.
Es seien zwei idempotente Elemente mit
.
Da ein idempotentes Element in einem Körper nur die Werte
oder
annehmen kann, haben sowohl als auch auf den Wert und außerhalb den Wert . Damit haben und überall den gleichen Wert und sind
nach dem Identitätssatz
für Polynome überhaupt gleich. Dies beweist die Injektivität.
Es sei nun sowohl offen als auch abgeschlossen. D.h. es gibt ein weiteres Ideal mit
und .
Nach
Fakt
erzeugen und zusammen das Einheitsideal. D.h. es gibt und mit . Wegen ist nach
Aufgabe
das Element nilpotent
und wegen der Reduziertheit ist . Also ist
idempotent. Wegen
, und ist
.