Kommutative Ringtheorie/K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Idempotente Elemente und randlose Mengen/Fakt/Beweis

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Beweis

Zunächst ist offen und abgeschlossen. Dies folgt aus

und aus

D.h. die Abbildung ist wohldefiniert.
Seien zwei idempotente Elemente mit . Da ein idempotentes Element in einem Körper nur die Werte oder annehmen kann, haben sowohl als auch auf den Wert und außerhalb den Wert . Damit haben und überall den gleichen Wert und sind nach dem Identitätssatz für Polynome überhaupt gleich. Dies beweist die Injektivität.
Sei nun sowohl offen als auch abgeschlossen. D.h. es gibt ein weiteres Ideal mit und . Nach Fakt erzeugen und zusammen das Einheitsideal. D.h. es gibt und mit . Wegen ist nach Aufgabe das Element nilpotent und wegen der Reduziertheit ist . Also ist

idempotent. Wegen , und ist .

Zur bewiesenen Aussage