Kommutative Ringtheorie/K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Idempotente Elemente und randlose Mengen/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist  $D(e)=V(1-e)$  offen und abgeschlossen. Dies folgt aus

$D(e)\cup D(1-e)=D(1)=K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$

und aus

$D(e)\cap D(1-e)=D(e(1-e))=D(e-e^2)=D(0)=\mathrm{\varnothing }.$

D.h. die Abbildung ist wohldefiniert.
Es seien $e_1,e_2$ zwei idempotente Elemente mit  $U=D\left(e_1\right)=D\left(e_2\right)$.  Da ein idempotentes Element in einem Körper nur die Werte $0$ oder $1$ annehmen kann, haben sowohl $e_1$ als auch $e_2$ auf $U$ den Wert $1$ und außerhalb den Wert $0$. Damit haben $e_1$ und $e_2$ überall den gleichen Wert und sind nach dem Identitätssatz für Polynome überhaupt gleich. Dies beweist die Injektivität.
Es sei nun  $U=D(𝔞)$  sowohl offen als auch abgeschlossen. D.h. es gibt ein weiteres Ideal $𝔟$ mit $D(𝔞)\cup D(𝔟)=K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$ und $D(𝔞)\cap D(𝔟)=\mathrm{\varnothing }$. Nach Fakt erzeugen $𝔞$ und $𝔟$ zusammen das Einheitsideal. D.h. es gibt  $a\in 𝔞$  und  $b\in 𝔟$  mit  $a+b=1$.  Wegen  $D(a)\cap D(b)=D(ab)=\mathrm{\varnothing }$  ist nach Aufgabe das Element $ab$ nilpotent und wegen der Reduziertheit ist  $ab=0$.  Also ist

$a=a\cdot 1=a(a+b)=a^2+ab=a^2$

idempotent. Wegen $D(a)\subseteq D(𝔞)$ , $D(b)\subseteq D(𝔟)$ und  $D(a)\cup D(b)=K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$  ist  $U=D(𝔞)=D(a)$. 

Zur bewiesenen Aussage