Beweis
Zunächst ist
offen und abgeschlossen. Dies folgt aus
-

und aus
-

D.h. die Abbildung ist wohldefiniert.
Es seien
zwei idempotente Elemente mit
.
Da ein idempotentes Element in einem Körper nur die Werte
oder
annehmen kann, haben sowohl
als auch
auf
den Wert
und außerhalb den Wert
. Damit haben
und
überall den gleichen Wert und sind
nach dem Identitätssatz
für Polynome überhaupt gleich. Dies beweist die Injektivität.
Es sei nun
sowohl offen als auch abgeschlossen. D.h. es gibt ein weiteres Ideal
mit
und
.
Nach
Fakt
erzeugen
und
zusammen das Einheitsideal. D.h. es gibt
und
mit
.
Wegen
ist nach
Aufgabe
das Element
nilpotent
und wegen der Reduziertheit ist
.
Also ist
-

idempotent. Wegen
,
und
ist
.