Kommutative Ringtheorie/Lokalisierungen/Durchschnitt/Ring/Fakt/Beweis

Beweis

Die Inklusion ${}\subseteq$ ist klar. Es sei also ${}q\in Q(R)$ und sei angenommen, ${}q$ gehöre zum Durchschnitt rechts. Für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ ist also ${}q\in R_{\mathfrak {m}}\subset Q(R)$, d.h. es gibt ${}f_{\mathfrak {m}}\notin {\mathfrak {m}}$ und ${}a_{\mathfrak {m}}\in R$ mit ${}q={\frac {a_{\mathfrak {m}}}{f_{\mathfrak {m}}}}$. Wir betrachten das Ideal

$(f_{\mathfrak {m}}:\,{\mathfrak {m}}{\text{ maximal}}).$

Dieses Ideal ist in keinem maximalen Ideal enthalten, also muss es nach dem Lemma von Zorn das Einheitsideal sein. Es gibt also endlich viele maximale Ideale ${}{\mathfrak {m}}_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$ und ${}r_{i}\in R$ mit

${}r_{1}f_{1}+\cdots +r_{n}f_{n}=1\,,$

wobei ${}f_{i}=f_{{\mathfrak {m}}_{i}}$ gesetzt wurde. Damit ist

${}q={\frac {a_{1}}{f_{1}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{f_{n}}}\,.$

Wir schreiben

${}q=q(r_{1}f_{1}+\cdots +r_{n}f_{n})=qr_{1}f_{1}+\cdots +qr_{n}f_{n}=a_{1}r_{1}+\cdots +a_{n}r_{n}\,.$

Also gehört ${}q$ zu ${}R$.

Zur bewiesenen Aussage