Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Modulerzeuger von . Bei liegt der Nullmodul vor. Sei . Dann gibt es eine surjektive Abbildung . Nach Fakt ist aber ein Restklassenmodul eines noetherschen Moduls wieder noethersch, und der Ring selbst ist nach Voraussetzung noethersch, also ist noethersch.

Sei nun und die Aussage für kleinere bereits bewiesen. Sei ein Erzeugendensystem von . Wir betrachten den durch erzeugten -Untermodul, den wir mit bezeichnen. Dieser Untermodul gibt Anlass zu einer kurzen exakten Sequenz, nämlich

Hier wird der linke Modul von Elementen erzeugt und ist nach Induktionsvoraussetzung noethersch. Der rechte Modul wird von der Restklasse von , also von einem Element erzeugt, ist also auch noethersch. Nach Fakt ist dann noethersch.