Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl $n$ der Modulerzeuger von $M$ . Bei $n = 0$ liegt der Nullmodul vor. Es sei $n = 1$ . Dann gibt es eine surjektive Abbildung $R \to M ≅ R / 𝔞$ . Nach Fakt ist aber ein Restklassenmodul eines noetherschen Moduls wieder noethersch, und der Ring selbst ist nach Voraussetzung noethersch, also ist $M$ noethersch.

Es sei nun $n \geq 2$ und die Aussage für kleinere $n$ bereits bewiesen. Es sei $m_{1}, \dots, m_{n}$ ein Erzeugendensystem von $M$ . Wir betrachten den durch $m_{1}, \dots, m_{n - 1}$ erzeugten $R$ -Untermodul, den wir mit $M_{1}$ bezeichnen. Dieser Untermodul gibt Anlass zu einer kurzen exakten Sequenz, nämlich

0 ⟶ M_{1} ⟶ M ⟶ M / M_{1} = : M_{3} ⟶ 0.

Hier wird der linke Modul von $n - 1$ Elementen erzeugt und ist nach Induktionsvoraussetzung noethersch. Der rechte Modul wird von der Restklasse von $m_{n}$ , also von einem Element erzeugt, ist also auch noethersch. Nach Fakt ist dann $M$ noethersch.

Zur bewiesenen Aussage