Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Definition

Kurze exakte Sequenz

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ $R$ -Moduln. Man nennt ein Diagramm der Form

0 \overset{}{⟶} M_{1} \overset{}{⟶} M_{2} \overset{}{⟶} M_{3} \overset{}{⟶} 0

eine kurze exakte Sequenz von $R$ -Moduln, wenn $M_{1}$ ein $R$ -Untermodul von $M_{2}$ ist, und wenn $M_{3}$ ein Restklassenmodul von $M_{2}$ ist, der isomorph zu $M_{2} / M_{1}$ ist.