Kommutative Ringtheorie/Polynomring (mehrere Variablen)/Grad/Definition

Grad von Monomen und Polynomen

Sei ${}S$ ein kommutativer Ring und ${}R=S[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}S$ in ${}n$ Variablen. Dann heißt zu einem Monom

${}G=X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$

die Zahl

${}|\nu |=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}\,$

der Grad von ${}G$. Zu einem Polynom ${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\neq 0$ heißt das Maximum

$\max\{|\nu |:\,a_{\nu }\neq 0\}$

der Grad von ${}F$.