Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist insbesondere  ${}{\mathfrak {p}}\subset R$  und somit ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ nicht der Nullring. Es sei  ${}fg=0$  in ${}R/{\mathfrak {p}}$ wobei ${}f,g$ durch Elemente in ${}R$ repräsentiert seien. Dann ist  ${}fg\in {\mathfrak {p}}$  und damit  ${}f\in {\mathfrak {p}}$  oder  ${}g\in {\mathfrak {p}}$.  was in ${}R/{\mathfrak {p}}$ gerade  ${}f=0$  oder  ${}g=0$  bedeutet.

Ist umgekehrt ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist  ${}{\mathfrak {p}}\neq R$.  Es sei  ${}f,g\notin {\mathfrak {p}}$.  Dann ist  ${}f,g\neq 0$  in ${}R/{\mathfrak {p}}$ und daher  ${}fg\neq 0$  in ${}R/{\mathfrak {p}}$, also ist

 ${}fg\notin {\mathfrak {p}}$. 

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