Kommutative Ringtheorie/Primidealkette/Krulldimension/Definition

Primidealkette der Länge ${}n$

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen

${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}\,$

nennt man Primidealkette der Länge ${}n$ (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von ${}R$ ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit ${}\operatorname {dim} {\left(R\right)}$ bezeichnet.