Kommutativer Halbring/Halbideal/Abzieheigenschaft/Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutativer Halbring und ${}x,y\in M$. Es sei

${}I:={\left\{u\in M\mid \exists a\exists b\exists c\exists d{\text{ mit }}u+ax+by=cx+dy\right\}}\,.$

1. Zeige, dass ${}I$ die folgenden drei Eigenschaften erfüllt.
   1. ${}0\in I$.
   2. Wenn ${}u,v\in I$ sind, so ist auch ${}u+v\in I$.
   3. Wenn ${}u\in I$ und ${}r\in M$ ist, so ist auch ${}ru\in I$.
2. ${}M$ erfülle nun die Abziehregel. Zeige, dass aus ${}u,v\in I$ mit ${}u=v+z$ auch ${}z\in I$ folgt.

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