Kommutativer Halbring/Halbideal/Abzieheigenschaft/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}M$ ein kommutativer Halbring und ${}x,y\in M$. Es sei

${}I:={\left\{u\in M\mid \exists a\exists b\exists c\exists d,\,u+ax+by=cx+dy\right\}}\,.$

1. 1. Die Zugehörigkeit ${}0\in I$ ergibt sich aus  ${}a=b=c=d=0$. 
   2. Sei  ${}u+ax+by=cx+dy$  und  ${}v+a'x+b'y=c'x+d'y$.  Dann ist durch Addition der beiden Gleichungen direkt

      ${}u+v+(a+a')x+(b+b')y=u+v+ax+by+a'x+b'y=cx+dy+c'x+d'y=(c+c')x+(d+d')y\,.$

   3. Sei  ${}u+ax+by=cx+dy$.  Durch Multiplikation mit ${}r$ ergibt sich direkt

      ${}ru+rax+rby=rcx+rcy\,.$

2. Sei  ${}u=v+z$  und  ${}u+ax+by=cx+dy$  und  ${}v+a'x+b'y=c'x+d'y$.  Durch Addition der beiden Gleichungen über Kreuz erhält man

   ${}v+cx+dy+a'x+b'y=u+ax+by+c'x+d'y=v+z+ax+by+c'x+d'y\,.$

   Aufgrund der Abziehregel gilt

   ${}cx+dy+a'x+b'y=z+ax+by+c'x+d'y\,,$

   was die Zugehörigkeit ${}z\in I$ bedeutet.

Zur gelösten Aufgabe