Kommutativer Halbring/Summe und Produkt/Beliebige Indexmenge/Aufgabe/Kommentar

1. Die Definition der Summe ${}\sum _{i\in I}a_{i}$ bedeutet: für eine gewählte Nummerierung ${}\varphi$ von ${}I$ ist ${}\sum _{i\in I}a_{i}$ das Ergebnis der folgenden endlich viele Summen

$(\cdots ((a_{\varphi (1)}+a_{\varphi (2)})+a_{\varphi (3)})+\cdots +a_{\varphi (n-1)})+a_{\varphi (n)},$

also das letzte Element der folgenden Folge

${\begin{aligned}&a_{\varphi (1)}+a_{\varphi (2)},\ (a_{\varphi (1)}+a_{\varphi (2)})+a_{\varphi (3)},\ ((a_{\varphi (1)}+a_{\varphi (2)})+a_{\varphi (3)})+a_{\varphi (4)},\dots ,\\&(\cdots ((a_{\varphi (1)}+a_{\varphi (2)})+a_{\varphi (3)})+\cdots +a_{\varphi (n-1)})+a_{\varphi (n)}.\end{aligned}}$

Da die Addition auf ${}R$ kommutativ ist, soll es "klar" sein, dass diese Definition nicht von der Nummerierung von ${}I$ abhängig ist. Für einen strengen Beweis muss mann aber zeigen, dass

$\sum _{k=1}^{n}a_{\varphi (k)}=\sum _{k=1}^{n}a_{\psi (k)}$

für jede andere Nummerierung ${}\psi$ von ${}I$, also eine beliebige Bijektion

$\psi \colon \{1,\ldots ,n\}\longrightarrow I.$

Dies kann man eine Induktion nach ${}n$ durchführen. Die Behauptung ist klar für ${}n\leq 2$. Sei ${}l\in \{1,\ldots ,n\}$ mit ${}\psi (l)=\varphi (n)$. Es ist dann zu zeigen

$\sum _{k=1}^{n-1}a_{\varphi (k)}=\sum _{k=1}^{l-1}a_{\psi (k)}+\sum _{k=l+1}^{n}a_{\psi (k)},$

da die Addition kommutativ ist. Im Beweis zu Fakt sieht man schon, dass die Abbildung

$\lambda \colon \{1,\ldots ,n-1\}\longrightarrow \{1,\ldots ,n\}\setminus \{l\}$

gegeben durch

$\lambda (k)={\begin{cases}k&{\text{falls }}1\leq k\leq l-1,\\k+1&{\text{falls }}l\leq k\leq n-1\end{cases}}$

eine Bijektion ist. Nun sind sowohl ${}\varphi$ als auch ${}\psi \circ \lambda$ Bijektionen von ${}\{1,\ldots ,n-1\}$ auf ${}I\setminus \{\varphi (n)\}$, und man kann die Induktionsvoraussetzung verwenden.

2. Die Behauptung ist "klar", da die Addition kommutativ ist. Für einen Beweis sollte man geeignete Nummerierungen ${}\varphi$ von ${}I$ und ${}\varphi '$ von ${}I\setminus \{j\}$ wählen. Da wir ${}\sum _{i\in I}a_{i}$ und ${}\sum _{i\in I\setminus \{j\}}a_{i}$ vergleichen wollen, sollte ${}\varphi '$ die Einschränkung von ${}\varphi$ sein. Dies ist aber einfach zu erreichen: man wählt zuerst eine beliebige Nummerierung ${}\varphi '$ von ${}I\setminus \{j\}$ und dann erweitert ${}\varphi '$ auf eine Nummerierung ${}\varphi$ von ${}I$, indem man ${}\varphi (n)=j$ setzt. Dann gilt

$\sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=1}^{n}a_{\varphi (k)}=\sum _{k=1}^{n-1}a_{\varphi (k)}+a_{\varphi (n)}=\sum _{k=1}^{n-1}a_{\varphi '(k)}+a_{\varphi (n)}=\sum _{i\in I\setminus \{j\}}a_{i}+a_{j}.$

3. Gegenben Nummerierungen ${}\varphi _{1}$ von ${}I_{1}$ und ${}\varphi _{2}$ von ${}I_{2}$, wie konstruiert man eine geeignete Nummerierung ${}\varphi$ von ${}I$? Welches Ergebnis der Vorlesung kann man hier verwenden?

Zur kommentierten Aufgabe