Kommutativer Ring/Freier Modul/Ist projektiv/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $F$ der freie Modul mit der Basis $e_i$, $i\in I$. Es sei ein surjektiver $R$-Modulhomomorphismus

$\theta :A⟶B$

und ein Modulhomomorphismus

$\phi :F⟶B$

vorgegeben. Zu jedem Element $\phi (e_i)$ gibt es ein Element $w_i$ mit  $\theta (w_i)=\phi (e_i)$.  Nach dem Festlegungssatz für freie Moduln gibt es einen Modulhomomorphismus

$\psi :F⟶A$

mit

$\psi (e_i)=w_i,$

und $\psi$ hat die gewünschten Eigenschaften.

Zur bewiesenen Aussage