Kommutativer Ring/Ideal/Maximales Ideal/Radikal/Restklassenring/Fakt/Beweis

Beweis

Wir haben ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {m}}&\\\downarrow &&\downarrow &\\R/I&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {m}}/IR_{\mathfrak {m}}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von ${}R$-Algebrahomomorphismen. Ein Element

${}f\notin {\mathfrak {m}}\,$

ist ein Einheit in ${}R/I$. Es gibt nämlich oberhalb von ${}I+(f)$ kein maximales Ideal, da es oberhalb von ${}I$ nur ${}{\mathfrak {m}}$ gibt, und somit ist ${}I+(f)=R$. Daher gibt es ${}a\in I$ und ${}b\in R$ mit ${}a+bf=1$, was wiederum ${}bf=1$ in ${}R/I$ bedeutet. Somit gibt es nach Fakt auch einen natürlichen ${}R$-Algebrahomomorphismus

$R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow R/I.$

Daraus ergibt sich auch ein Algebrahomomorphismus

$R_{\mathfrak {m}}/IR_{\mathfrak {m}}\longrightarrow R/I.$

Die Hintereinanderschaltungen müssen dabei Isomorphismen sein.

Zur bewiesenen Aussage