Kommutativer Ring/Ideal/Teilerfremd/Chinesischer Restsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Der allgemeine Fall folgt aus dem Fall für ${}n=2$, sodass wir uns darauf beschränken. Die natürliche Abbildung

$R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}\times R/{\mathfrak {b}}$

hat den Durchschnitt ${}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}$ als Kern. Dieser stimmt nach Fakt mit dem Produkt ${}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}$ überein und wir erhalten einen injektiven Ringhomomorphismus

$R/{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}\times R/{\mathfrak {b}}.$

Es ist also noch die Surjektivität nachzuweisen. Es sei dazu ${}(r,s)$ rechts gegeben. Es seien ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}b\in {\mathfrak {b}}$ mit ${}a+b=1$. Dann ist ${}r-ar+s-sb$ ein Urbild. Dieses Element wird ja in der ersten Komponente auf

${}r-ar+s-sb=r+s-s(1-a)=r+s-s=r\,$

abgebildet und entsprechend in der zweiten Kompoente auf ${}s$.

Zur bewiesenen Aussage