Kommutativer Ring/Ideal/Teilerfremd/Chinesischer Restsatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Der allgemeine Fall folgt aus dem Fall für , so dass wir uns darauf beschränken. Die natürliche Abbildung

hat den Durchschnitt als Kern. Dieser stimmt nach Fakt mit dem Produkt überein und wir erhalten einen injektiven Ringhomomorphismus

Es ist also noch die Surjektivität nachzuweisen. Es sei dazu rechts gegeben. Es seien und mit . Dann ist ein Urbild. Dieses Element wird ja in der ersten Komponente auf

abgebildet und entsprechend in der zweiten Kompoente auf .