Kommutativer Ring/Ideale/Chinesischer Restsatz/Kurze exakte Sequenz/Direkt/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien  $I,J\subseteq R$  Ideale. Wir betrachten die Gruppenhomomorphismen

$\phi :R/I\cap J⟶R/I\times R/J,r⟼(r,r),$

und

$\psi :R/I\times R/J⟶R/(I+J),(s,t)⟼s-t.$

Zeige, dass $\phi$ injektiv ist, dass $\psi$ surjektiv ist und dass

$\mathrm{bild}\phi =\mathrm{kern}\psi$

ist. Sind $\phi$ und $\psi$ Ringhomomorphismen?

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