Kommutativer Ring/Lemma von Nakayama/Nichtlokale Version/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wenden Fakt auf die Identität auf ${}M$ an. Mit dem dort gewonnenen Polynom ${}P=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_{n}$ (mit ${}a_{j}\in {\mathfrak {a}}^{j}$) ist dann

${}0=P(\operatorname {Id} )M={\left(\operatorname {Id} +{\left(a_{1}+\cdots +a_{n}\right)}\operatorname {Id} \right)}M={\left(1+a_{1}+\cdots +a_{n}\right)}M\,,$

wobei die Summe ohne die ${}1$ zum Ideal gehört.

Zur bewiesenen Aussage