Modul/Ideal/Cayley-Hamilton/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}M$ ein ${}R$-Modul, der von ${}n$ Elementen erzeugt werde. Es sei ${}\varphi \colon M\rightarrow M$ ein ${}R$-Modulhomomorphismus mit

${}\varphi (M)\subseteq {\mathfrak {a}}M\,.$

Dann gibt es ein normiertes Polynom

${}P=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_{n}\,$

vom Grad ${}n$ und mit ${}a_{j}\in {\mathfrak {a}}^{j}$ und mit ${}P(\varphi )=0$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen