Kommutativer Ring/Lemma von Nakayama/Nichtlokale Version/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring,  $𝔞\subseteq R$  ein Ideal und sei $V$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Es sei  $𝔞V=V$  vorausgesetzt.

Dann gibt es ein $f\in 𝔞$ derart, dass  $(1-f)V=0$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen