Kommutativer Ring/Operation durch Addition auf Polynomring/Invariantenring/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}G=(R,+)$ die additive Gruppe zu ${}R$.

a) Zeige, dass durch die Zuordnung

$G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(R[X],R[X]\right)},\,r\longmapsto \varphi _{r},$

wobei ${}\varphi _{r}$ den durch ${}X\mapsto X+r$ gegebenen ${}R$-Algebrahomomorphismus bezeichnet, eine Gruppenoperation von ${}G$ auf dem Polynomring ${}R[X]$ definiert ist.

b) Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation gleich ${}R$ ist.

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