Kommutativer Ring/Projektiver Modul/Universell und direkter Summand/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}M$ projektiv. Da ${}M$ ein Erzeugendensystem ${}v_{i}$, ${}i\in I$, besitzt, gibt es auch einen surjekiven ${}R$-Modulhomomorphismus

$\theta \colon R^{(I)}\longrightarrow M.$

Die projektive Eigenschaft, angewendet auf die Identität

$\operatorname {Id} \colon M\longrightarrow M,$

zeigt, dass es einen Modulhomomorphismus

$\psi \colon M\longrightarrow R^{(I)}$

mit

${}\theta \circ \psi =\operatorname {Id} _{M}\,$

gibt. Dies bedeutet

${}R^{(I)}=M\oplus \operatorname {kern} \theta \,.$

Wenn umgekehrt

${}M\oplus N=F\,$

frei ist, ein surjektiver ${}R$-Modulhomomorphismus

$\theta \colon A\longrightarrow B$

und ein Modulhomomorphismus

$\varphi \colon M\longrightarrow B$

gegeben ist, so gibt es nach Fakt, angewendet auf

$\varphi \circ p_{M}\colon F\longrightarrow B,$

einen Homomorphismus

$\rho \colon F\longrightarrow A$

mit

${}\varphi \circ p_{M}=\theta \circ \rho \,$

Die Einschränkung von ${}\rho$ auf ${}M$ hat wegen

${}\theta \circ (\rho \circ i_{M})=(\theta \circ \rho )\circ i_{M}=(\varphi \circ p_{M})\circ i_{M}=\varphi \circ (p_{M}\circ i_{M})=\varphi \,$

die gewünschten Eigenschaften.

Zur bewiesenen Aussage